Traitement numérique

Cet article est utile pour les élèves de collèges et de lycées techniques. Le microprocesseur, cerveau de l'ordinateur, effectue l'ensemble des calculs.

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Microprocesseur - Carte mère - Calcul numérique

Cet article est utile pour les élèves de collèges et de lycées techniques. Le microprocesseur, cerveau de l'ordinateur, effectue l'ensemble des calculs.

Système de numération

Base

Une base B caractérise un dispositif de numération dans lequel tout nombre N peut s'écrire : N = m_nBⁿ + m_n-1B^n-1 + M₁B + m₀B⁰ avec l'ensemble des cœfficients m < B.

Exemples

Le nombre 341₍₈₎ en base octale s'écrit : 3 × 8² + 4 × 8¹ + 1 × 8⁰
Le nombre 3AF8₍₁₆₎ en base hexadécimale s'écrit : 3 × 16³ + A × 16² + F × 16¹+8 × 16⁰

Tableau numérique

Base décimale	Base binaire	Base octale	Base hexadécimale
0	0	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11
18	10010	22	12
...	...	...	...

Pondération

Représenter un nombre N_B de n chiffres (ou symboles), dans une base B donnée, consiste en l'écriture en ligne de ces n chiffres de façon telle que : NB = (§) n-1_{… (§)}i _{... (§)}5 _(§)4 _(§)3 _(§)2 _(§)1 _(§)0

Avec : § : un quelconque des B chiffres ou symboles de la base, n - 1, .... i, 5, 4, 3, 2, 1, 0 indices indiquant le rang ou la position d'ordre du chiffre à partir de la droite.

La pondération permet l'attribution d'une valeur numérique ou poids à chacun des rangs. Ce poids P dépend de la base dans laquelle est représenté le nombre et a pour valeur : P=B^rang

Exemple

Dans le nombre décimal 425, le chiffre 5 est en position d'ordre 1 ou rang 0, le chiffre 2 en position d'ordre 2 ou rang 1 et le chiffre 4 en position d'ordre 3 ou rang 2.

4 2 5 nombre

2 1 0 rang

Pour la base 10, dispositif décimal :

le premier rang ou rang 0 a pour poids 10⁰ soit 1, c'est le rang des unités,
le rang suivant, rang 1 a pour poids 10¹ soit 10 (rang des dizaines),
le rang 2 a pour poids 10² soit 100 (rang des centaines),
le rang 3 a pour poids 10³ Soit 1000 (rang des milliers), et ainsi de suite.

Note

Dans le dispositif binaire on ne parle plus d'unité, de dizaine ou de centaine mais de bit (contraction de l'anglais binary digit, qui veut dire rang binaire). On peut distinguer ainsi le bit 0, le bit 1, le bit 2, le bit 3... L'équivalent français de bit est élément binaire ou eb, ce terme est assez peu employé.

Code binaire pur

Le code binaire pur ou code binaire naturel est un code pondéré dans lequel les poids sont représentés par les puissances successives de deux. La valeur décimale du nombre binaire représenté s'obtient directement par addition du poids affecté à chaque bit de valeur 1.

Note

Un groupe de huit bits est nommé octet (en anglais byte of 8 bits). Un groupe de quatre bits est nommé quartet (en anglais byte of 4 bits).

Exemple

Le nombre binaire 110011 a pour valeur : 1 × 2⁵ + l × 2⁴ + 0 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ Soit en décimal : 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 51

2⁴ (16)	2³ (8)	2² (4)	2¹ (2)	2⁰ (1)	Équivalent décimal N₍₁₀₎
	0	0	0	0	`0`
	0	0	0	1	1
	0	0	1	0	2
	0	0	1	1	2 + 1 ou 3
	0	1	0	0	4
	0	1	0	1	4 + 1 ou 5
	0	1	1	0	4 + 2 ou 6
	0	1	1	1	4 + 2 + 1 ou 7
	1	0	0	0	8
	1	0	0	1	8 + 1 ou 9
	1	0	1	0	8 + 2 ou 10
	1	0	1	1	8 + 2 + 1 ou 11
	1	1	0	0	8 + 4 ou 12
	1	1	0	1	8 + 4 + 1 ou 13
	1	1	1	0	8 + 4 + 2 ou 14
	1	1	1	1	8 + 4 + 2 + 1 ou 15
1	0	0	0	0	16
1	0	0	0	1	16 + 1 ou 17
1	0	0	1	0	16 + 2 ou 18

Code de Gray (code binaire réfléchi)

Dans le code binaire pur le passage d'une combinaison à l'autre entraîne quelquefois le changement simultané de plusieurs bits. C'est par exemple le cas pour la transition de l'équivalent décimal 3 à l'équivalent décimal 4 pour laquelle les bits de poids 1 et 2 passent de 1 à 0 et le bit de poids 4 passe de 0 à 1. Pour éviter cet inconvénient, cause d'aléas quand le code permet de la représentation de grandeurs physiques à variation continue, informations de position par exemple, il est indispensable d'imaginer des codes pour lesquels le passage d'une combinaison à la suivante n'implique que la modification d'un bit et d'un seul. De tels codes sont nommés "codes réfléchis". Parmi ceux-ci, le code de Gray est le plus employé.

Plus d'infos sur le Code de Gray sont disponibles sur Internet. Voir sur Google.

Note

Un code réfléchi qui est un code non pondéré ne est parfois utilisé pour les opérations arithmétiques.

Représentation hexadécimale des nombres binaires

La représentation hexadécimale ou représentation à base 16 est une notation condensée des nombres binaires. En remarquant que 24 = 16, on peut représenter un octet binaire avec l'un des 16 symboles du dispositif hexadécimal. Dans ce dispositif les dix premiers symboles sont semblables à ceux utilisés dans le dispositif décimal : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9, et les six derniers correspondent aux premières lettres de l'alphabet latin : A, B, C, D, E et F, lesquelles valent respectivement : 10, 11, 12, 13, 14 et 15 en base 10.

Transcodage

Passage de la base 2 à la base 16

Pour représenter en hexadécimal un nombre binaire, il suffit de le découper en groupe de quatre bits. Chacun des bits de ces groupes ayant une pondération s'échelonnant de 20 à 23, leur somme apporte la valeur hexadécimale de chaque groupe.

Exemple

Soit le nombre binaire 1011100110101100 à convertir en hexadécimal. Le découpage en quartets de ce nombre donne : 1011 1001 1010 1100

Après pondération, la somme S, bit par bit de chaque groupe de quatre bits est :

2³ (8)	2² (4)	2¹ (2)	2⁰ (1)	S
1	0	1	1	11	Soit B₍₁₆₎
1	0	0	1	9	Soit 9₍₁₆₎
1	0	1	0	10	Soit A₍₁₆₎
1	1	0	0	12	Soit C₍₁₆₎

Le nombre hexadécimal correspondant au nombre binaire 1011100110101100 est : B9AC

Passage de la base 16 à la base 2

Pour convertir en binaire un nombre hexadécimal, il convient de remplacer chacun des symboles hexadécimaux par son quartet binaire équivalent.

Exemple

Les trois quartets binaires équivalents au nombre hexadécimal 8D6 sont :

	2³ (8)	2² (4)	2¹ (2)	2⁰ (1)
8	1	0	0	0
D	1	1	0	1
6	0	1	1	0

Le nombre binaire correspondant au nombre hexadécimal 8D6 est : 1000 1101 0110

Représentation octale des nombres binaires

Comme la représentation hexadécimale la représentation octale ou représentation à base 8 est une notation condensée des nombres binaires. En remarquant que 2³ = 8, on peut représenter un triplet binaire avec l'un des 8 symboles du dispositif octal. Ces huit symboles sont semblables au huit premiers chiffres du dispositif décimal, soit : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7.

Pour représenter en octal un nombre binaire, il suffit de le découper en groupe de trois bits ou triplet. Chacun des bits de ces groupes ayant une pondération s'échelonnant de 2⁰ à 2² leur somme apporte la valeur octale de chaque groupe.

Soit le nombre binaire 110101100 à convertir en octal. Le découpage en triplets de ce nombre donne : 110 101 100

Après pondération, la somme S, bit par bit de chaque groupe est :

2² (4)	2¹ (2)	2⁰ (1)	S
1	1	0	6	Soit 6₍₈₎
1	0	1	5	Soit 5₍₈₎
1	0	0	4	Soit 4₍₈₎

Le nombre octal correspondant au nombre binaire 110101100 est : 654

Représentation binaire codée décimale

Dans la représentation binaire codée décimale à chacun des éléments décimaux correspond un quartet représentatif de son équivalent binaire.

Ainsi :

au 0₍₁₀₎ correspond 0000₍₂₎ ;
au 1₍₁₀₎ correspond 0001₍₂₎ ;
au 9₍₁₀₎ correspond 1001₍₂₎.

Le code Binaire Codé Décimal (BCD) est un code pondéré.

Les poids des bits représentatifs sont :

pour le quartet le moins significatif (le premier quartet à droite) : 8.4.2.1. ;
pour le quartet suivant 80.40.20.10 ;
800.400.200.100. pour le troisième ;
et ainsi de suite jusqu'au quartet le plus significatif (le dernier quartet à gauche).

Exemple

Le nombre décimal 2001₍₁₀₎ devient en BCD : 0010 0000 0000 0001. Inversement, le nombre BCD 1001 0101 0001 0111 devient en décimal 9517.

Récapitulations

Tableau récapitulatif de conversion des dispositifs

Base décimale	Base binaire	Base octale	Base hexadécimale
0	0	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11
18	10010	22	12
...	...	...	...

Récapitualtif des méthodes de conversion

Conversion binaire - décimal

La méthode consiste à décomposer le nombre en puissances décroissantes de 2 en partant du rang le plus haut, soit :

1010₍₂₎ = 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 0 × 2⁰
1010₍₂₎ = 8 + 0 + 2 + 0

1010₍₂₎ = 10₍₁₀₎

Conversion décimal - binaire

On effectue des divisions successives par 2 (voir plus en haut).

Conversion hexadécimal - décimal

La méthode consiste à décomposer le nombre en puissances décroissantes de 16 en partant du rang le plus haut, soit :

BA8₍₁₆₎ = B × 16² + A × 16¹ + 8 × 16⁰
BA8₍₁₆₎ = 11 × 16² + 10 × 16¹ + 8 × 16⁰
BA8₍₁₆₎ = 2816 + 160 + 8

BA8₍₁₆₎ = 2984₍₁₀₎

Conversion décimal - hexadécimal

On effectue des divisions successives par 16 (voir plus en haut).

Conversion octal - décimal

La méthode consiste à décomposer le nombre en puissances décroissantes de 8 en partant du rang le plus haut, soit :

777₍₈₎ = 7 × 8² + 7 × 8¹ + 7 × 8⁰
777₍₈₎ = 448 + 56 + 7

777₍₈₎ = 511₍₁₀₎

Conversion décimal - octal

On effectue des divisions successives par 8 (voir plus en haut).

Opérations arithmétiques en base 2

Les opérations les plus habituelles en base 2 sont l'addition et la soustraction. Ces opérations s'effectuent de la même manière que les opérations décimales en utilisant des tables d'addition et de soustraction bien plus simples.

Addition binaire

L'addition est l'opération qui consiste à effectuer : tout d'abord, la somme S_i de deux chiffres binaires de même rang tels que A_i et B_i par exemple, puis, dans un second temps, une deuxième somme entre le résultat auparavant obtenu et la valeur du report ou retenue R_i-1, issu de l'addition aval de rang i - 1.

Exemple

Effectuer l'addition de deux nombres binaires A et B tels que :

A = 110 (6 en décimal)
B = 011 (3 en décimal)

Décomposition de la procédure :

au premier rang (2⁰), la retenue aval est nécessairement nulle et le total de A. et B. est bien égal à 1,
au rang suivant (2¹), la retenue aval est aussi nulle, le total de A₁ et B₁, est égal à 0 mais génère un report R₁,
au troisième rang (2²) au total de A₂ et B₂ égal à 1 il faut rajouter le report R₁ ce qui donne un total définitif de 0 avec un report R₂ qui affecte le rang quatre.

Résultat final

Le résultat définitif est donc : 1001 soit 9 en décimal (6 + 3 = 9).

Voir aussi

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